EJEMPLO DE MAXIMIZAR Y MINIMIZAR CON DERVADAS

Problema 1

Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón de 20x10cm. Para ello, se corta un cuadrado de lado L en cada esquina y se dobla la hoja levantando los cuatro laterales de la caja.

Determinar las dimensiones de la caja para que su volumen sea máximo si el lado $L$ debe medir entre 2 y 3 cm ($2\le L\le 3$).

Solución

Si $a$ es el ancho de la caja, $h$ es su altura y $p$ es su profundidad, entonces su volumen es

Al cortar los cuatro cuadrados de lado $L$, el ancho de la caja es

La profundidad es

Por último, la altura coincide con el lado del cuadrado recortado:

Luego el volumen de la caja en función de $L$ es (paso 1)

Derivamos la función volumen (paso 2):

Igualamos a 0 la derivada y resolvemos la ecuación para encontrar los puntos críticos (paso 3):

Situamos los puntos en la recta real y estudiamos los signos en los intervalos (paso 4):

Escogemos los puntos $x=1$ del primer intervalo, $x=3$ del segundo intervalo y $x=8$ del tercero:

Luego la función es creciente en el primer intervalo, decreciente en el segundo y creciente en el tercero:

Pero el lado $L$ debe medir entre 2 y 3, es decir, debe ser

Como en el intervalo $[2.11,3]$ la función es decreciente, el volumen será máximo para $L=2.11cm$.
Por tanto, las dimensiones de la caja deben ser

Es decir, las dimensiones son 15.78 x 5.78 x 2.11 cm y su volumen es $192.45c{m}^2$.

Problema 2
Una empresa vende 0.7 toneladas de zumo y 0.3 toneladas de sobrante por cada tonelada de materia prima. El coste de la materia prima es de 0.8€/kg, los precios de venta del zumo y del sobrante son 2.5€/kg y 0.05€/kg, respectivamente, y el coste de producción viene dado por la función

donde $x$ representa las toneladas de zumo producido.
Obtener:

1. Una expresión para calcular las ganancias netas en función de las toneladas de materia prima.
2. La cantidad de zumo que se debe fabricar para que las ganancias netas sean máximas.

Solución

Sea $x$ la cantidad de materia prima y sean $z$ y $s$ las cantidades de zumo y de sobrante, respectivamente.
El número de toneladas de zumo producido en función de las toneladas de materia prima es

Y el de sobrante,

Las ganancias brutas son:

Hemos multiplicado por 1000 porque el precio es por kilo y no por tonelada.
El coste total es el coste de la materia prima más el coste de producción:

Luego las ganancias netas en función de las toneladas de materia prima son:

Calculamos la derivada:

Igualamos la derivada a 0 y resolvemos la ecuación para buscar puntos críticos:

Representamos los puntos obtenidos en la recta real y estudiamos el signo de la derivada:

Elegimos el punto $x=-100$ del primer intervalo, el punto $x=0$ del segundo y el punto $x=100$ del tercer intervalo:

Por el criterio de la primera derivada, la función es decreciente en el primer y tercer intervalo y creciente en el segundo:

Nota: podemos acotar el dominio de la función al intervalo de los reales positivos ya que no tiene sentido que se produzcan cantidades negativas de zumo.
De la monotonía, deducimos que en el punto $x=-80.21$ la función tiene un mínimo y en el punto $x=80.21$ tiene un máximo.
Por tanto, las ganancias netas son máximas cuando la cantidad de materia prima es 80.21 toneladas. En toneladas de zumo, equivale a 56.15 toneladas ya que

Problema 3
Una empresa de fabricación de puertas de madera utiliza un tablón rectangular para la hoja y tres listones de 10cm de ancho para el marco (lados laterales y lado superior). El precio del tablón es de $128 por metro cuadrado y el de los listones es de $87 por metro lineal.

Calcular:

1. Las dimensiones de una puerta de $2m^2$ de superficie de hoja para que el coste sea mínimo. ¿Cuál será su precio?
2. Si la puerta es de 2.5 metros de ancho y 0.8 metros de alto, ¿cuál es su precio?

Solución

Sean $x$ e $y$ la anchura y altura de la hoja de la puerta, respectivamente. Como la superficie de la hoja es $2m^2$, tenemos que

Como la anchura de los listones es de 10cm, la longitud del listón del lado superior debe ser (escribimos 0.1 ya que los precios son por metro)

La longitud de los dos listones de los lados laterales debe ser

El coste total es el coste de la hoja más el del marco. El coste de la hoja es

El coste del listón superior es

Y el coste de los listones laterales es

Por tanto, el coste total es

Como tenemos dos variables, escribimos $y$ en función de $x$:

Calculamos la derivada:

Igualamos a 0 y resolvemos la ecuación para buscar los puntos críticos:

Situamos los puntos críticos en la recta real y estudiamos el signo de la derivada en los 4 intervalos:

Nota: hay que incluir el punto $x=0$ como punto crítico ya que la función no está definida en dicho punto (no se puede dividir entre 0).
Escogemos $x=-3$ para el primer intervalo, $x=-1$ para el segundo, $x=1$ para el tercero y $x=3$ para el cuarto:

La función es creciente para $x\le -2$, decreciente en el intervalo $[-2,2]$ y creciente para $x\ge 2$. Además, tiene un en $x=2$.
Nota: cuando $x$ tiende a $-\infty$ la función decrece, pero como $x$ representa una longitud, debe ser positiva.
Las dimensiones son

Es decir, 2 metros de ancho y 1 de alto.
Calculamos el coste:

Luego el coste total de la puerta es $621.4.
Apartado b:
Evaluando la función en ($x=2.5$),